Question

8．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一个动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别E，F．
（1）当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明；
（2）在（1）的条件下，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，并证明．

Answer 1

分析 （1）先证明AB=AM=DM=CD，得出△ABM和△DCM是等腰直角三角形，BM=CM，得出∠AMB=∠DMC=45°，即可得出∠BMC=90°，再由已知条件即可证出结论；（2）先证明F为MB的中点，得出PF为△BCM的中位线，得出PF=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{1}{2}$BM=MF，即可得出矩形PEMF为正方形．

解答 解：（1）当矩形的长AD=2AB时，四边形PEMF为矩形；
证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB，M是AD的中点，
∴AB=AM=DM=CD，
∴△ABM和△DCM是等腰直角三角形，且BM=CM，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°，
∵PE⊥CM，PF⊥BM，
∴∠PFM=∠PEM=90°，
∴四边形PEMF为矩形；
（2）当点P运动到BC的中点时，矩形PEMF变为正方形；
证明如下：
∵P为BC的中点，PF∥MC，
∴F为MB的中点，
∴PF为△BCM的中位线，
∴PF=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{1}{2}$BM=MF，
∴矩形PEMF为正方形．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、正方形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．