Question

12．对于二次函数y=ax²+（b+1）x+（b-1），若存在实数x₀，使得当x=x₀，函数y=x₀，则称x₀是函数y的一个不动点，
（1）当a=1，b=-2时，求函数y的不动点；
（2）对任意实数b，函数y恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先确定二次函数解析式为y=x²-x-3，根据x₀是函数y的一个不动点的定义，把（x₀，x₀）代入得x₀²-x₀-3=x₀，然后解此一元二次方程即可；
（2）根据x₀是函数y的一个不动点的定义得到ax₀²+（b+1）x₀+（b-1）=x₀，整理得ax₀²+bx₀+（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b²-4a（b-1）＞0，即b²-4ab+4a＞0，把b²-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b²-4ab+4a＞0成立，则（4a）²-4•4a＜0，然后解此不等式即可．

解答 解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x²-x-3，
把（x₀，x₀）代入得x₀²-x₀-3=x₀，解得x₀=-1或x₀=3，
所以函数y的不动点为-1和3；
（2）因为y=x₀，
所以ax₀²+（b+1）x₀+（b-1）=x₀，
即ax₀²+bx₀+（b-1）=0，
因为函数y恒有两个相异的不动点，
所以此方程有两个不相等的实数解，
所以△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0，
而对任意实数b，b²-4ab+4a＞0成立，
所以（4a）²-4•4a＜0，
解得0＜a＜1．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了阅读理解能力和根的判别式的意义．