Question

7．如图，抛物线y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+2x与x轴相交于点B、O，点A是抛物线的顶点，连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．已知点P是直线l上的一点，且它在x轴的上方．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t．当12≤S≤18时，t的取值范围是-3≤t≤-1．

Answer 1

分析 如图所示：连接OA．令y=0得：-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+2x=0，从而可求得点B的坐标为（6，0），由抛物线的对称性可知点A的横坐标为3，将x=3代入可求得点A的坐标为（3，3）．利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=-x+3，从而得到直线OP的解析式为y=-x，依据各点的坐标求得OP=-$\sqrt{2}t$，AB=3$\sqrt{2}$，OA=3$\sqrt{2}$，最后依据四边形的面积的取值范围列不等式组求解即可

解答 解：如图所示：连接OA．

令y=0得：-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+2x=0，
解得：x₁=0，x₂=6．
∴点B的坐标为（6，0）．
∴点A的横坐标为3．
将x=3代入得：y=3．
∴点A的坐标为（3，3）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A、B的坐标代入直线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∵直线OP∥AB，
∴直线OP的解析式为y=-x．
∵DA=DO=DB，
∴∠OAB=90°．
∵运动时间为t，
∴OP=$\sqrt{2}$t．
∴S_ABOP=$\frac{1}{2}（PO+AB）OA$，即12≤$\frac{1}{2}×（-\sqrt{2}t+3\sqrt{2}）×3\sqrt{2}$≤18．
解得：-3≤t≤-1．
故答案为：-3≤t≤-1．

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意列出关于四边形面积的不等式组是解题的关键．