我们给出如下定义:若一个四边形有一组对角互补.则称这个四边形为圆满四边形．(1)概念理解:在平行四边形.菱形.矩形.正方形中.你认为属于圆满四边形的有矩形.正方形．(2)问题探究:如图?.在四边形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.若∠ADB=∠ACB.问四边形ABCD是圆满四边形吗?请说明理由．小明经过思考后.判断四边形ABCD是圆满四边形.并提出了如下探� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．我们给出如下定义：若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180°），则称这个四边形为圆满四边形．
（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于圆满四边形的有矩形，正方形．
（2）问题探究：如图?，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ADB=∠ACB，问四边形ABCD是圆满四边形吗？请说明理由．小明经过思考后，判断四边形ABCD是圆满四边形，并提出了如下探究思路：先证明△AOD∽△BOC，得到比例式$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OD}{OC}$，再证明△AOB∽△DOC，得出对应角相等，根据四边形内角和定理，得出一组对角互补．请你帮助小明写出解题过程．
（3）问题解决：请结合上述解题中所积累的经验和知识完成下题．如图?，四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，AB与DC的延长线相交于点E，BE=BD，AB=5，AD=3，求CE的长．

分析（1）利用圆满四边形的定义直接判断即可；
（2）先判断出△AOD∽△BOC，进而△AOB∽△DOC即可得出∠ADB+∠ABC=∠DCB+∠DAB=180°即可；
（3）先判断出∠BCE=∠DAB，进而得出△BEC∽△DEA，即：$\frac{EC}{AE}=\frac{BC}{AD}$，另为表示出BC=$\sqrt{25-{x}^{2}}$
和求出BD=4，EA=9，代入比例式即可求出EC．

解答解：（1）∵矩形和正方形的四个内角都是90°，
∴矩形和正方形的两组对角的和为180°，
∴矩形，正方形是圆满四边形．
故答案是：矩形，正方形；
（2）证明：∵∠ADB=∠ACB，∠AOD=∠BOC，
∴∠DAO=∠CBO，
∴△AOD∽△BOC，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，又∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD．
∴∠ADB+∠ODC+∠OBA+∠OBC=∠ACB+∠OAB+∠OCD+∠OAD=180°，
即∠ADB+∠ABC=∠DCB+∠DAB=180°．
∴四边形ABCD是圆满四边形．

（3）如图?，∵AD⊥BD，AC⊥BC，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴四边形ABCD是圆满四边形，
由上可得，∠DAB+∠DCB=∠ADC+∠ABC=180°，∠BDC=∠BAC．
又∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDC=∠BAC，
∴AC=EC．
又∵∠BCE+∠DCB=180°，
∴∠BCE=∠DAB，
又∠BEC=∠DEA，
∴△BEC∽△DEA，
∴$\frac{EC}{AE}=\frac{BC}{AD}$，
设AC=EC=x，则BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{25-{x}^{2}}$
BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=4，
∴EA=5+4=9，
∴$\frac{\sqrt{25-{x}^{2}}}{3}=\frac{x}{9}$，解得，x=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$．
即：CE=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$．