Question

3．已知抛物线C₁：y=ax²-4ax-5（a＞0）．
（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；
（2）①试说明无论a为何值，抛物线C₁一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线C₁沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C₂，直接写出C₂的表达式；
（3）若（2）中抛物线C₂的顶点到x轴的距离为2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；
（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题； 
        ②根据抛物线翻折理论即可解题；
（3）根据（2）中抛物线C₂解析式，分类讨论y=2或-2，即可解题；

解答 解：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴对称轴为x=2；
∴当y=0时，x-2=3或-3，即x=-1或5；
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）或（5，0）；

（2）①抛物线C₁解析式为：y=ax²-4ax-5，
整理得：y=ax（x-4）-5；
∵当ax（x-4）=0时，y恒定为-5；
∴抛物线C₁一定经过两个定点（0，-5），（4，-5）；
②这两个点连线为y=-5；
将抛物线C₁沿y=-5翻折，得到抛物线C₂，开口方向变了，但是对称轴没变；
∴抛物线C₂解析式为：y=-ax²+4ax-5，

（3）抛物线C₂的顶点到x轴的距离为2，
则x=2时，y=2或者-2；
当y=2时，2=-4a+8a-5，解得，a=$\frac{7}{4}$；
当y=-2时，-2=-4a+8a-5，解得，a=$\frac{3}{4}$；
∴a=$\frac{7}{4}$或$\frac{3}{4}$；

点评 本题考查了代入法求抛物线解析式的方法，考查了抛物线翻折后对称轴不变的原理，考查了抛物线顶点的求解．