Question

3．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于点AB，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接BC、BD．
（1）点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（3，0），点D的坐标是（1，4）；
（2）若点E是x轴上一点，连接CE，且满足∠ECB=∠CBD，求点E坐标；
（3）若点P在x轴上且位于点B右侧，点A、Q关于点P中心对称，连接QD，且∠BDQ=45°，求点P的坐标（请利用备用图解决问题）

Answer 1

分析 （1）令抛物线y=0，解方程可求点A的坐标和点B的坐标，根据抛物线的顶点式，可得抛物线的顶点坐标；
（2）根据待定系数法，可得BD的解析式，根据平行线的判定和两平行直线的函数解析式的关系，根据待定系数法，可得CE的解析式，进一步可得答案；
（3）根据勾股定理，可得BD的长，根据相似三角形的判定与性质，可得QN与BN的关系，根据等腰直角三角形的性质，可得DN与QN的关系，根据勾股定理，可得BQ的长，根据线段的和差，可得AQ的长，根据线段中点的性质，可得AP的长，根据线段的差，可得OP的长，可得P点坐标．

解答 解：（1）令抛物线y=0，则-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
则点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（3，0），
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
则顶点D的坐标为（1，4）．
故答案为：（-1，0），（3，0），（1，4）；
（2）设BD所在直线的解析式为：y=k（x-3），将D点坐标代入函数解析式，得
-2k=4，
解得k=-2，
故BD所在直线的解析式为：y=-2x+6，
∵∠ECB=∠CBD，
∴CE∥BD，
设CE所在直线的解析式为：y=-2x+b，将C点坐标代入函数解析式，得b=3，
故CE所在直线的解析式为：y=-2x+3，
当y=0时，x=1.5；
∴点E坐标（0，1.5）；
（3）如图：
，
连接QD，作QN⊥DB，交DB的延长线于N，
设对称轴与x轴的交点为点H．
∵点D坐标是（1，4）
∴点H坐标是（1，0）
∴DH=4，BH=2，
∴在Rt△BDH中，BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
又∵∠QNB=∠DHB，∠QBN=∠DBH，
∴△QBN∽△DBH，
∴$\frac{QN}{DH}$=$\frac{BN}{BH}$，
∴$\frac{QN}{BN}$=$\frac{DH}{BH}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴QN=2BN．
又∵∠BDQ=45°，
∴在Rt△DNQ中，∠DQN=45°，
∴DN=QN=2BN，
∴BN=BD=2$\sqrt{5}$，
∴QN=4$\sqrt{5}$．
∴在Rt△QBN中，BQ=$\sqrt{B{N}^{2}+N{Q}^{2}}$=10． 
∵AB=4，
∴AQ=AB+BQ=14．
∴AP=$\frac{1}{2}$AQ=7
OP=AP-AO=7-1=6，
∴P（6，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用配方法得出顶点坐标；利用待定系数法得出BD的解析式是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出QN与BN的关系是解题关键，又利用了等腰直角三角形的性质得出QN的长，利用勾股定理得出BQ的长．