为创建生态文明城市.某小区将一块长60米.宽40米的矩形空地.计划修筑成两块相同的绿色植物园.两块绿色植物园之间及周边留有宽度相同的人行通道.设人行通道宽为a米.小区经过与某园林公司协商修建道路费用为10万元.但修建绿色植物园的造价y与修建面积x(米2)之间的函数关系如图2所示.如果小区决定由该公司修建此工程.并且要求道路的宽度不少于4米� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．为创建生态文明城市，某小区将一块长60米，宽40米的矩形空地，计划修筑成两块相同的绿色植物园，两块绿色植物园之间及周边留有宽度相同的人行通道（如图1所示），设人行通道宽为a米，小区经过与某园林公司协商修建道路费用为10万元，但修建绿色植物园的造价y（万元）与修建面积x（米²）之间的函数关系如图2所示，如果小区决定由该公司修建此工程，并且要求道路的宽度不少于4米但不要超过10米
（1）用含a的式子表示绿色植物园的面积S（米²）；
（2）如果人行通道的面积是864米²，求人行通道宽度；
（3）写出工程总造价W（万元）与人行通道的宽a（米）之间的函数关系，并求当人行通道宽为多少米时，工程总造价最低，最低造价为多少万元？

分析（1）根据矩形的面积公式列出即可；
（2）根据绿色植物园的面积S等于矩形面积减去人行道的面积，列出一元二次方程，再进行求解即可得出答案；
（3）根据函数图象求得0≤x＜10和x≥10时y关于x的函数解析式，根据总造价=道路造价+绿化带造价，并结合（1）中所得解析式得出w关于a的解析式，由a的范围得出最值即可得．

解答解：（1）根据题意得：S=（60-3a）（40-2a）=6a²-240a+2400（4≤a≤10）；

（2）根据绿色植物园的面积S等于矩形面积减去人行道的面积得：6a²-240a+2400=60×40-864，
解得：a₁=4，a₂=36＞10（舍去），
∴人行通道宽度为4米；

（3）

设OA的解析式为y₁=kx，
把x=600、y=48代入，得：600k=48，
∴k=$\frac{2}{25}$，
∴y₁=$\frac{2}{25}$x（0＜x≤600），
设AB的解析式为y₂=kx+b，
把x=600、y=48，x=1200、y=72，代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{600k+b=48}\\{1200k+b=72}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{25}}\\{b=24}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{25}$x+24，
∴w₁=y₁+10=$\frac{2}{25}$x+10=$\frac{2}{25}$（6a²-240a+2400）+10=$\frac{12}{25}$（a-20）²+10（4≤a≤10）；
∵0≤6a²-240a+2400≤600，
解得：10≤a≤20，
∴a=10时，w₁=$\frac{12}{25}$（10-20）²+10=58；
w₂=y₂+10=$\frac{1}{25}$x+24+10=$\frac{1}{25}$（6a²-240a+2400）+24+10=$\frac{6}{25}$（a-20）²+34，
∵6a²-240a+2400≥600，
∴a≤10或a≥30，
∵当a＜20时，w₂随a的增大而减小，且4≤a≤10，
∴当a=10时，w₂取得最小值，w₂=$\frac{6}{25}$（10-20）²+34=58，
综上，求当人行通道宽为10米时，工程总造价最低，最低造价为58万元．