Question

6．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=8，sin∠BCD=$\frac{4}{5}$，CE平分∠BCD，交边AD于点E，联结BE并延长，交CD的延长线于点P．
（1）求梯形ABCD的周长；
（2）求PE的长．

Answer 1

分析 （1）过D作DF⊥BC于F，根据矩形的性质得到DF=AB=4，BF=AD=8，根据三角函数的定义得到CD=5，于是得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠DEC=∠BCE，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE，等量代换得到∠DEC=∠DCE，于是得到DE=CD=5，由勾股定理得到BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=5，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）过D作DF⊥BC于F，
则四边形ABFD是矩形，
∴DF=AB=4，BF=AD=8，
∵sin∠BCD=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{4}{5}$，
∴CD=5，
∴CF=3，
∴梯形ABCD的周长=4+8+3+5+8=28；

（2）∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=5，
∴AE=3，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=5，
∵DE∥BC，
∴△PED∽△PBC，
∴$\frac{PE}{PB}=\frac{DE}{BC}$，
即$\frac{PE}{PE+5}=\frac{5}{11}$，
∴PE=$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质．平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．