题目内容
已知：如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺60°角的顶点与点A重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．
（1）如图1，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F．求证：CE+CF=AB；
（2）如图2，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F．写出此时CE、CF、AB长度之间关系的结论．（不需要证明）
（1）如图1，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F．求证：CE+CF=AB；
（2）如图2，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F．写出此时CE、CF、AB长度之间关系的结论．（不需要证明）
考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）首先连接AC，由在菱形ABCD中，∠B=60°，使三角尺60°角的顶点与点A重合，易证得△BAE≌△CAF，继而证得结论；
（2）首先连接AC，由在菱形ABCD中，∠B=60°，使三角尺60°角的顶点与点A重合，易证得△CAE≌△DAF，继而证得结论．
（2）首先连接AC，由在菱形ABCD中，∠B=60°，使三角尺60°角的顶点与点A重合，易证得△CAE≌△DAF，继而证得结论．
解答：（1）证明：连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵∠B=60°，
∴∠D=60°，
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，…（1分）
∴AB=AC，∠BAC=∠ACD=∠B=60°．
∵∠EAF=60°，
∴∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），…（3分）
∴BE=CF，…（4分）
∴CE+CF=CB=AB． …（5分）
（2）连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵∠B=60°，
∴∠D=60°，
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，
∴AB=AD=AC，∠BAC=∠ACB=∠ADC=∠ACD=∠B=60°．
∴∠ACE=∠ADF=120°，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAD=∠EAF=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中，
，
∴△ACE≌△ADF（SAS），
∴CE=DF，
∴CF-CE=CF-DF=CD=AB．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵∠B=60°，
∴∠D=60°，
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，…（1分）
∴AB=AC，∠BAC=∠ACD=∠B=60°．
∵∠EAF=60°，
∴∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
|
∴△BAE≌△CAF（ASA），…（3分）
∴BE=CF，…（4分）∴CE+CF=CB=AB． …（5分）
（2）连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵∠B=60°，
∴∠D=60°，
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，
∴AB=AD=AC，∠BAC=∠ACB=∠ADC=∠ACD=∠B=60°．
∴∠ACE=∠ADF=120°，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAD=∠EAF=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中，
|
∴△ACE≌△ADF（SAS），
∴CE=DF，
∴CF-CE=CF-DF=CD=AB．
点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
下列成语所描述的事件：
①水中捞月；②拔苗助长；③守株待兔；④瓮中捉鳖．
其中是确定事件的个数有（ ）
①水中捞月；②拔苗助长；③守株待兔；④瓮中捉鳖．
其中是确定事件的个数有（ ）
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．
如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，设D为BC上任意一点，点D不与B、C重合，且DC=x，若三角形ABD的面积为y．
在数轴上作出表示1-