Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB=2，连接BD，求BD长．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，可得△ABC是等边三角形，又由AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，可得△ACD是等边三角形，继而证得结论；
（2）由四边形ABCD是菱形，∠B=60°，易得AC与BD互相垂直且平分，然后由含30°角的直角三角形的性质，求得答案．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，
∴∠FAC=∠ACE=120°，
∵AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，
∴∠DAC=∠DCA=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=CD=AC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形．

 （2）解：∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，∠ABO=

1

2

∠ABC=30°，
∴OA=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∴OB=

AB2-OA2

=

3

，
∴BD=2OB=2

3

．

点评：此题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．