Question

如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）如果AB=10，求D、F两点间的距离．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）由△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点，易证得EF=FC=ED=DC，则可判定四边形EFCD是菱形；
（2）首先连接DF，与EC相交于点G，由四边形EFCD是菱形，根据菱形的性质可求得EF与EG的长，然后由勾股定理求得答案．

解答：（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，ED=DC=EC，
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=

1

2

AB，EC=

1

2

AC，FC=

1

2

BC，
∴EF=EC=FC，
∴EF=FC=ED=DC，
∴四边形EFCD是菱形；

（2）解：连接DF，与EC相交于点G，
∵四边形EFCD是菱形，
∴DF⊥EC，FD=2FG，
∵EF=

1

2

AB=5，EG=

1

2

EC=

5

2

，
由勾股定理得：FG=

EF2-EG2

=

5

2

3

，
∴FD=2FG=5

3

．

点评：此题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．