Question

14．如图，圆形靠在墙角的截面图，A、B分别为⊙O的切点，BC⊥AC，点P在$\widehat{AmB}$上以2°/s的速度由A点向点B运动（A、B点除外），连接AP、BP、BA．
（1）当∠PBA=28°，求∠OAP的度数；
（2）若点P不在AO的延长线上，请写出∠OAP与∠PBA之间的关系；
（3）当点P运动几秒时，△APB为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理可知∠PBA=$\frac{1}{2}$∠POA，求出∠POA，再利用等腰三角形的性质即可解决问题；
（2）分∠PBA是锐角或钝角两种情形讨论求解即可；
（3）分三种情形求解即可；

解答 解：（1）连接OP，
∵∠PBA=$\frac{1}{2}$∠POA=28°，
∴∠POA=56°，
∵OP=OA，
∴∠POA=56°，
∴∠OAP=$\frac{1}{2}$（180°-56°）=62°．

（2）当∠PBA＜90°时，∠OAP=$\frac{1}{2}$（180°-2∠PBA）=90°-∠PBA．
当∠PBA＞90°时，∠OAP=∠PBA-90°．

（3）当AB为腰时，当AB=AP时，点P的运动弧的度数是90度，故时间t=$\frac{90°}{{2}^{°}}$=45，
当AB=BP时，点P的运动弧的度数是180度，时间t=$\frac{180°}{2°}$=90，
当AB为底时，即PB=AP时，点P的运动弧的度数是135度，故时间t=$\frac{135°}{2°}$=67.5．
综上所述，当点P运动45s或90s或67.5s秒时，△APB为等腰三角形．

点评 本题考查切线的性质、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．