Question

10．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x²+xy可分解为x（x+y），当x=8，y=9时，各个因式的值是x=8，x+y=17，于是密码就是“817”，其中的“8”、“17”分别叫做这串密码的第一因式码、第二因式码，类似地，对多项式x⁴-y⁴用“因式分解法”产生密码：
（1）多项式x⁴-y⁴可分解为（x-y）（x+y）（x²+y²）；
（2）在（1）的条件下，若第一因式码和第二因式码构成“24”时，请求出第三因式码；
（3）在（1）的条件下，且x，y在0到9的10个整数中取值，将产生的密码看成一个数，当此数最大时，请直接写出x，y的值和此时的密码．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以得到多项式x⁴-y⁴分解侯的最终结果；
（2）根据题目中的数字和题意可以得到第三因式码；
（3）根据题意可以得到第一因式码一定是个位数，第二因式码是一位数或者两位数，第三因式码最大时三位数最小是一位数，从而可以估计出该题的答案．

解答 解：（1）x⁴-y⁴=（x²-y²）（x²+y²）=（x-y）（x+y）（x²+y²），
故答案为：x²+y²；
（2）∵x⁴-y⁴=（x-y）（x+y）（x²+y²），第一因式码和第二因式码构成“24”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y=2}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴x²+y²=3²+1²=10，
∴第三因式码是10；
（3）由题意可得，
当x=9，y=5时，产生的密码最大，此时密码为414106．

点评 本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用因式分解的方法解答．