Question

11．操作与证明：
把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，易知：AF=CE，AF⊥CE．（如图1）（不要证明）
（1）将图1中的直角三角板BEF绕点B顺时针旋转α度（0＜α＜45），连接AF，CE，（如图2），试证明：AF=CE，AF⊥CE．
猜想与发现：
（2）将图2中的直角三角板BEF绕点B顺时针继续旋转，使BF落在BC边上，连接AF，CE，（如图3），点M，N分别为AF，CE的中点，连接MB，BN．
①MB，BN的数量关系是相等；
②MB，BN的位置关系是垂直．
变式与探究：
（3）图1中的直角三角板BEF绕点B顺时针旋转180°，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN，（如图4），MA，MN的数量关系、位置关系又如何？为什么？

Answer 1

分析 （1）延长AF交EC于G，交BC于H，利用正方形ABCD的性质和等腰△BEF的性质，证明△ABF≌△CBE，得到AF=CE，∠BAF=∠BCE，根据∠BAF+AHB=90°，∠AHB=∠CHG，所以∠BCE+∠CHG=90°，即可解答．
（2）①MB，BN的数量关系是相等；②MB，BN的位置关系是垂直；
（3）MA=MN，MA⊥MN，理由：如图4，连接DE，利用正方形ABCD的性质和等腰△BEF的性质，证明△ADF≌△CDE，得到DF=DE，∠1=∠2，利用在Rt△ADF中，点M是DF的中点，得到MA=$\frac{1}{2}$DF=MD=MF，再利用中位线的性质，得到得到MN=$\frac{1}{2}$DE，MN∥DE，通过角之间的等量代换和三角形内角和，得到∠6=90°，从而得到∠7=∠6=90°，即可解答．

解答 解：（1）如图2，延长AF交EC于G，交BC于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABF+∠FBC=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠CBE+∠FBC=90°，
∴∠ABF=∠CBE，
在△ABF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠CBE}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，∠BAF=∠BCE，
∵∠BAF+AHB=90°，∠AHB=∠CHG，
∴∠BCE+∠CHG=90°，
∴AF⊥CE．
（2）①相等；②垂直．
故答案为：相等，垂直．
（3）MA=MN，MA⊥MN，
理由：如图4，连接DE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
∵点E、F分别在正方形CB、AB的延长线上，
∴AB+BF=CB+BE，即AF=CE，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠DAF=∠DCE}\\{AF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDE，
∴DF=DE，∠1=∠2，
在Rt△ADF中，
∵点M是DF的中点，
∴MA=$\frac{1}{2}$DF=MD=MF，
∴∠1=∠3，
∵点N是EF的中点，
∴MN是△DEF的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$DE，MN∥DE，
∴MA=MN，∠2=∠3，
∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5，
∴∠3+∠5=90°，
∴∠6=180°-（∠3+∠5）=90°，
∴∠7=∠6=90°，MA⊥MN．

点评 本题考查了图形的旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是证明三角形全等，得到相等的边与角，作辅助线也是解决本题的关键．