Question

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线AC-CB运动，到点B停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交AB 于点Q，再以PQ为斜边作等腰直角三角形△PQR，且点R与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧，设△PQR与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．点P的运动时间为t（秒）．
（1）求点P在AC边上时PQ的长，（用含t的代数式表示）；
（2）求点R到AC、PQ所在直线的距离相等时t的取值范围；
（3）当点P在AC边上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出点R落在△ABC高线上时t的值．

Answer 1

分析 （1）只需利用三角函数就可解决问题；
（2）可分点P在AC边上（图①）和点P在BC边上（图②）两种情况讨论：当点P在AC边上时，易得点R到AC、PQ所在直线的距离始终相等，从而可得0＜t＜1；当点P在BC边上时，易得PC=PQ，由此建立关于t的方程，就可解决问题；
（3）可分△PQR全部在△ABC内和△PQR部分在△ABC内两种情况讨论：当△PQR全部在△ABC内时，只需运用三角形的面积公式就可解决问题；当△PQR部分在△ABC内时，只需运用割补法就可解决问题；
（4）可分以下几种情况讨论：点R在AB的高CH上（如图④和图⑦）、点R在AC的高BC上（如图⑤）、点R在BC的高AC上（如图⑥），其中图④和图⑦可通过构造K型全等，并利用相似三角形的性质来解决问题，图5和图6可通过PQ=2PC来解决问题．

解答 解：（1）如图①，

由题意可知AP=4t，
tanA=$\frac{PQ}{AP}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴PQ=3t；

（2）①当点P在AC边上时，如图①．

∵∠RPQ=45°，∠CPQ=90°，
∴∠CPR=45°=∠RPQ，
∴点R到直线AC、PQ距离相等，
此时0＜t＜1．
②当点P在BC边上时，过点R作RH⊥PQ于点H，如图②，

则有PC=4t-4，PB=7-4t，
∵tanB=$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴PQ=$\frac{4}{3}$PB=$\frac{4}{3}$（7-4t）．
由题可得：RH=$\frac{1}{2}$PC．
∵RH=$\frac{1}{2}$PQ，
∴PC=PQ，
∴4t-4=$\frac{4}{3}$（7-4t），
解得：t=$\frac{10}{7}$．
综上所述：0＜t＜1或t=$\frac{10}{7}$；

（3）①当0＜t≤$\frac{8}{11}$时，如图①．

过点R作RH⊥PQ于点H，
S=$\frac{1}{2}$PQ•RH=$\frac{1}{2}$×3t×$\frac{3t}{2}$=$\frac{9}{4}$t²．
②当$\frac{8}{11}$＜t＜1时，如图③．

过点R作RH⊥PQ于点H，交BC于点G，
则有RG⊥MN，RH=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{3}{2}$t，GH=PC=4-4t，
∴S=S_△RPQ-S_△RMN=$\frac{1}{2}$PQ•RH-$\frac{1}{2}$MN•RH
=RH²-RG²=（$\frac{3}{2}$t）²-[$\frac{3}{2}$t-（4-4t）]²
=-28t²+44t-16；

（4）点R落在△ABC高线上时，t的值为$\frac{32}{53}$，$\frac{8}{11}$，$\frac{13}{10}$，$\frac{67}{46}$． 
提示：可分以下几种情况讨论：如图④～⑦
①点P在AC上，且点R在AB的高CH上，如图④，

过点P作PG⊥CH于G，
易证△PGR≌△RHQ，则有PG=RH，GR=QH．
易求得AB=5，CH=$\frac{12}{5}$，AH=$\frac{16}{5}$，BH=$\frac{9}{5}$．
PC=4-4t，CG=$\frac{3}{5}$PC=$\frac{3}{5}$（4-4t），PG=$\frac{4}{5}$PC=$\frac{4}{5}$（4-4t），
AQ=$\frac{5}{4}$AP=5t，QH=AH-AQ=$\frac{16}{5}$-5t．
根据CH=CG+GR+RH=CG+QH+PG=$\frac{12}{5}$，得
$\frac{3}{5}$（4-4t）+$\frac{16}{5}$-5t+$\frac{4}{5}$（4-4t）=$\frac{12}{5}$，
解得：t=$\frac{32}{53}$．
②点P在AC上，且点R在AC的高BC上，如图⑤

过点R作RH⊥PQ于H，
易得PQ=2RH=2PC，PQ=$\frac{3}{4}$AP=3t，PC=4-4t，
∴3t=2（4-4t），
解得：t=$\frac{8}{11}$．
③点P在BC上，且点R在BC的高AC上，如图⑥，

过点R作RH⊥PQ于H，
易得PQ=2RH=2PC，PQ=$\frac{4}{3}$PB=$\frac{4}{3}$（7-4t），PC=4t-4，
∴$\frac{4}{3}$（7-4t）=2（4t-4），
解得：t=$\frac{13}{10}$．
④点P在BC上，且点R在AB的高CH上，如图⑦，

过点P作PG⊥CH于G，
易证△PGR≌△RHQ，则有PG=RH，GR=QH．
易证△CGP∽△CHB，
∴$\frac{CG}{CH}$=$\frac{PG}{BH}$=$\frac{CP}{CB}$．
∵BC=3，CH=$\frac{12}{5}$，BH=$\frac{9}{5}$，CP=4t-4，
∴CG=$\frac{4}{5}$PC=$\frac{4}{5}$（4t-4），PG=$\frac{3}{5}$PC=$\frac{3}{5}$（4t-4），
同理可得QB=$\frac{5}{3}$PB=$\frac{5}{3}$（7-4t），QH=QB-BH=$\frac{5}{3}$（7-4t）-$\frac{9}{5}$．
根据CH=CG+GH=CG+RH-RG=CG+PG-QH=$\frac{12}{5}$，得
$\frac{4}{5}$（4t-4）+$\frac{3}{5}$（4t-4）-[$\frac{5}{3}$（7-4t）-$\frac{9}{5}$]=$\frac{12}{5}$，
解得：t=$\frac{67}{46}$．

点评 本题主要考查了三角函数、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，在解决问题的过程中，用到了割补法和分类讨论等重要的数学思想方法，准确分类是解决本题的关键．