Question

1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（-2，4），抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c经过点A，将Rt△OAB绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△OCD，点C为点A的对应点，点E为抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c于线段CD的交点．
（1）用含有b的代数式表示c．
（2）若抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c与△OCD的各边共有两个交点，求b的取值范围．
（3）在图中画出点E旋转前的对应点F，连结OF、EF，设由线段OF、FE、ED、DO首尾顺次连结组成的封闭图形的面积为S．
①当直线EF∥OD时，求线段EF的长．
②当S=6时，求抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的表达式．

Answer 1

分析 （1）首先由旋转的性质，可求得A（-2，0），C（0，2），D（4，2），然后由抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c经过点A，代入求得答案；
（2）分别求得抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c过原点与过D点时的b的取值，继而求得b的取值范围；
（3）①首先过点E作EH⊥OD，垂足为H，设EH=m，易得△EOF为等腰直角三角形，△EOH为等腰直角三角形，△DEH∽△DOC，则可求得OD=3m，继而求得m的值，则可求得答案；
②首先设E点横坐标为a，易得方程$\frac{1}{2}$（a²+4）+$\frac{1}{2}$×2（4-a）=6，继而求得答案．

解答 解：（1）由题意可得：A（-2，0），C（0，2），D（4，2），
∵抛物线经过点A，
∴-$\frac{1}{2}$×4-2b+c=0，
解得：c=2b+2；

（2）抛物线经过原点，c=0，2b+2=0，
解得：b=-1，
∵抛物线经过点D，则-$\frac{1}{2}$×16+4b+2b+2=2，
解得：b=$\frac{4}{3}$，
∴-1＜b＜$\frac{4}{3}$；

（3）①过点E作EH⊥OD，垂足为H，
设EH=m，
∵△EOF为等腰直角三角形，
∴∠FEO=45°，
∵EF∥OD，
∴∠EOD=45°，
在等腰直角△OEH中，EH=OH=m，
∵∠EHD=∠OCD=90°，∠D是公共角，
∴△DEH∽△DOC，
∴EH：DH=OC：CD=2：4，
∴Rt△EDH中，DH=2EH=2m，
∴OD=3m=2$\sqrt{5}$，
∴m=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴EF=$\sqrt{2}$OE=2OH=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$；

②设E点横坐标为a，
则S=S_△OEF+S_△ODE=$\frac{1}{2}$（a²+4）+$\frac{1}{2}$×2（4-a）=$\frac{{a}^{2}+4}{2}$+（4-a）=6，
解得：a=0或2，
∴点E的坐标为：（0，2）或（2，2），
代入抛物线得到：y=-$\frac{1}{2}$x²+2，y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．注意根据题意求得点A，C，D的坐标，准确作出辅助线是关键．