Question

如图，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=4，AD=BC，E是AD的中点，EB⊥BC，则梯形ABCD的面积是

 

．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质

专题：

分析：先延长CD交BE延长线上点G，过点A作AM⊥DC，过点B作BH⊥DC，根据AB∥CD，E是AD的中点得出△AEB≌△DEG，再根据AB=2，得出DG和GC的长，再根据ABCD是等腰梯形，AM⊥DC，BH⊥DC，得出DM=HC的值，再根据EB⊥BC，BH⊥DC得出△BGC∽△HBC，从而得出BC和BG的值，即可求出S_△BGC的值，再根据△AEB≌△DEG，即可得出梯形ABCD的面积．

解答：解：延长CD交BE延长线上点G，过点A作AM⊥DC，过点B作BH⊥DC，
∵AB∥CD，
∴∠GDE=∠EAB，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵∠GED=∠AEB，
∴△AEB≌△DEG，
∵AB=2，
∴DG=2，
∴GC=CD+GD=4+2=6，
∵AM⊥DC，BH⊥DC，AD=BC，
∴DM=HC=1，
∵EB⊥BC，BH⊥DC，
∴∠EBC=∠BHC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△BGC∽△HBC，
∴

GC

BC

=

BC

HC

，
∴BC²=GC•HC，
∴BC=

6×1

=

6

，
∴BG²=GC²-BC²，
∴BG=

62- 6 2

=

30

，
∴S_△BGC=

1

2

•BC•BG=

1

2

×

6

×

30

=3

5

，
∵△AEB≌△DEG，
∴梯形ABCD与三角形BGC的面积相等，
∴S_梯形ABCD=3

5

；
故答案为：3

5

．

点评：此题考查了等腰梯形的性质，本题通过作辅助线，把等腰梯形ABCD的面积转化为三角形BGC的面积是解题的关键．