Question

1．已知二次函数y=4x²-4ax+a²-2a+2，
（1）当a=0，2，4时，请在同一直角坐标系中画出对应函数图象的顶点，并画出a=2 时的函数图象；
（2）证明当a取任意实数时，顶点在一条确定的直线上；
（3）求（2）中的直线被抛物线y=4x²-4ax+a²-2a+2截得的线段长．

Answer 1

分析 （1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，由此可得出抛物线的顶点坐标，分别代入a=0、a=2、a=4找出顶点坐标，并画出a=2时，二次函数的图象即可；
（2）由抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$a，-2a+2），消去a后即可得出y=-4x+2，此题得证；
（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标，再根据两点间的距离公式求出线段长度即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=4x²-4ax+a²-2a+2=4（x-$\frac{1}{2}$a）²-2a+2，
∴抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$a，-2a+2）．
当a=0时，抛物线的顶点坐标为（0，2）；
当a=2时，抛物线的顶点坐标为（1，-2），抛物线的解析式为y=4（x-1）²-2；
当a=4时，抛物线的顶点坐标为（2，-6）．
画出函数图象如图所示．
（2）证明：∵抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$a，-2a+2），
∴-2a+2=-4×（$\frac{1}{2}$a）+2，
∴y=-4x+2，即当a取任意实数时，顶点在一条确定的直线上．
（3）联立两函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x+2}\\{y=4{x}^{2}-4ax+{a}^{2}-2a+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{1}{2}a-1}\\{{y}_{1}=-2a+6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{1}{2}a}\\{{y}_{2}=-2a+2}\end{array}\right.$，
∴两函数的交点坐标为（$\frac{1}{2}$a-1，-2a+6），（$\frac{1}{2}$a，-2a+2），
∴（2）中的直线被抛物线y=4x²-4ax+a²-2a+2截得的线段长为$\sqrt{[\frac{1}{2}a-（\frac{1}{2}a-1）]^{2}+[-2a+2-（-2a+6）]^{2}}$=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的性质、二次函数的图象以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式；（2）消去a找出顶点坐标所在的直线；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两函数图象的交点坐标．