Question

4．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点E．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）猜想四边形CDMN的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四边形的性质得出AB=DC，BC=AD，∠B=∠ADC，再利用M，N分别是AD，BC的中点，得出BN=DM，进而利用全等三角形的判定方法得出答案；
（2）利用直角三角形形的性质结合菱形的判定方法得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，BC=AD，∠B=∠ADC，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴BN=DM，
在△ABN和△CDM中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠CDM}\\{BN=MD}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；

（2）解：四边形CDMN是菱形，
理由：∵M是AD的中点，∠AND=90°，
∴NM=AM=MD，
∵BN=NC=AM=DM，
∴NC=MN=DM，
∵NC$\stackrel{∥}{=}$DM，
∴四边形CDMN是平行四边形，
又∵MN=DM，
∴四边形CDMN是菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，正确应用直角三角形的性质是解题关键．