Question

设菱形的周长为20，两条对角线的长是方程x²-（2m-1）x+4m-4=0的两个根，则m的值为（　　）

• A、

  13

  2

• B、-

  7

  2

• C、

  13

  2

  或-

  7

  2

• D、以上答案都不对

Answer 1

考点：根与系数的关系,解一元二次方程-因式分解法,勾股定理,菱形的性质

专题：综合题,数形结合

分析：先根据菱形的四边相等及周长公式求出此菱形的边长为5．设菱形ABCD的两条对角线长分别为α，β，那么由根与系数的关系，可得α+β=2m-1①，α•β=4m-4②．再根据菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理可知，（

α

2

）²+（

β

2

）²=5²，把①②两式分别代入，得到一个关于m的一元二次方程，运用因式分解法求出此方程的根，最后根据判别式及α，β表示的实际意义确定m的值．

解答：解：如图．∵菱形ABCD的周长为20，
∴AB=5．
设菱形ABCD的两条对角线长分别为α，β，则α，β是方程x²-（2m-1）x+4m-4=0的两个根，
∴α+β=2m-1 ①，α•β=4m-4 ②．
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，
∴OA²+OB²=AB²，
即（

α

2

）²+（

β

2

）²=5²，
∴α²+β²=100，
∴（α+β）²-2αβ=100，
把①②两式分别代入，得（2m-1）²-2（4m-4）=100，
整理，得4m²-12m-91=0，
解得m=

13

2

或-

7

2

．
当m=

13

2

时，△=144-88＞0，
当m=-

7

2

时，△=64+72＞0，
∴m=

13

2

或-

7

2

都是原方程的根．
又当m=-

7

2

时，α+β=2m-1=-8＜0，α•β=4m-4=-18，
∴α与β一正一负，这与α，β表示对角线长相矛盾．
∴m≠-

7

2

．
∴m=

13

2

．
故选A．

点评：本题主要考查了根与系数的关系，菱形的性质，一元二次方程的解法，勾股定理的应用．综合性较强，难度中等．注意运用根与系数的关系解题时，需要用判别式进行检验，此外，本题还需结合实际意义舍去不符合要求的m的值．