Question

11．如图，在△ABC中，AC=AB，CE是AB边上的中线，延长AB至D，使BD=AB，问CE与CD有何数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析 延长CE到F，使EF=CE，连接FB，由SAS证明△BEF≌△AEC，得出∠1=∠A，FB=BD，再由SAS证明△CDB≌△CFB，得出CE=CD，即可得出结果．

解答 解：CE=$\frac{1}{2}$CD，理由如下：
延长CE到F，使EF=CE，连接FB，如图所示：
∵AB=AC，
∴∠2=∠ACB，
∵CE是AB边上的中线，
∴AE=BE，
在△BEF和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}&{\;}\\{∠BEF=∠AEC}&{\;}\\{EF=CE}&{\;}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△AEC（SAS），
∴BF=AC，∠1=∠A，
∵BD=AB，
∴BF=BD，
∵∠3=∠A+∠ACB=∠1+∠2，
∴∠CBD=∠CBF，
在△CBF和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BD}&{\;}\\{∠CBF=∠CBD}&{\;}\\{BC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△CBD（SAS），
∴CF=CD，
∵CF=2CE，
即CE=$\frac{1}{2}$CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．