Question

【题目】如图，直线PC交⊙O于A，C两点，AB是⊙O的直径，AD平分∠PAB交⊙O于点D，过D作DE垂直PA，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AE=1，AC=4，求直径AB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6.

【解析】分析：

（1）如下图，连接OD，由已知条件易得∠DAE=∠DAO，∠DAO=∠ADO，∠DAE+∠ADE=90°，由此可得∠ADO+∠ADE=90°=∠ODE，从而可得DE是⊙O的切线；

（2）如下图，过点O作OF⊥AC于点F，则易得AF=AC=2，四边形OFED是矩形，从而可得OD=EF=AE+AF=1+2=3，由此可得AB=2OD=6.

详解：

（1）如下图，连接OD，

∵AD平分∠PAB，

∴∠PAD=∠OAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠PAD=∠ODA，

∵DE⊥PA，

∴∠DEA=∠EAD+∠EDA=90°，

∴∠ODA+∠EDA=90°，

∴DE是⊙O的切线

（2）作OF⊥AC，

∴AF=CF=2，∠OFE=90°，

又∵∠DEA=∠ODE=90°，

∴四边形OFED为矩形，

∴OD=EF=AE+AF=3，

∴AB=2OD=6.