Question

13．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（　　）

• A． 由小到大
• B． 由大到小
• C． 不变
• D． 先由小到大，后由大到小

Answer 1

分析 作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，构造正方形DMCN，利用正方形和等腰直角三角形的性质，通过证明△DMG≌△DNH，把△DHN补到△DNG的位置，得到四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积，于是得到阴影部分的面积=扇形的面积-正方形DMCN的面积，即为定值．

解答 解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DC，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$AB，DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$AB，
∴DM=DN，
∴四边形DMCN是正方形，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDG=90°-∠GDN，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDH=90°-∠GDN，
∴∠MDG=∠NDH，
在△DMG和△DNH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDG=∠NDH}\\{∠DMG=∠DNH}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMG≌△DNH，
∴四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积，
∵正方形DMCN的面积=DM²=$\frac{1}{8}$AB²，
∴四边形DGCH的面积=${\frac{1}{8}AB}^{2}$，
∵扇形FDE的面积=$\frac{90•π•C{D}^{2}}{360}$=$\frac{πA{B}^{2}}{16}$，
∴阴影部分的面积=扇形面积-四边形DGCH的面积=$\frac{（π-2{）AB}^{2}}{16}$（定值），
故选C．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，能正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．