Question

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b）及两个图形W₁和W₂，若对于图形W₁上任意一点P（x，y），在图形W₂上总存在点P'（x'，y'），使得点P'是线段PM的中点，则称点P'是点P关于点M的关联点，图形W₂是图形W₁关于点M的关联图形，此时三个点的坐标满足x'=$\frac{x+a}{2}$，y'=$\frac{y+b}{2}$．
（1）点P'（-2，2）是点P关于原点O的关联点，则点P的坐标是（-4，4）；
（2）已知，点A（-4，1），B（-2，1），C（-2，-1），D（-4，-1）以及点M（3，0）
①画出正方形ABCD关于点M的关联图形；
②在y轴上是否存在点N，使得正方形ABCD关于点N的关联图形恰好被直线y=-x分成面积相等的两部分？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点P'（-2，2）是点P关于原点O的关联点，可得点P'是线段PO的中点，继而求得答案；
（2）①连接AM，并取中点A′，同理，画出B′、C′、D′；继而求得正方形ABCD关于点M的关联图形；
②首先设N（0，n），易得关联图形的中心Q落在直线y=-x上，然后由正方形ABCD的中心为E（-3，0），求得$\frac{0+n}{2}$=-$\frac{-3+0}{2}$，继而求得答案．

解答 解：（1）∵点P'（-2，2）是点P关于原点O的关联点，
∴点P'是线段PO的中点，
∴点P的坐标是（-4，4）；
故答案为：（-4，4）；

（2）①如图1，连接AM，并取中点A′；
同理，画出B′、C′、D′；
∴正方形A′B′C′D′为所求作．


②如图2，设N（0，n）．
∵正方形ABCD关于点N的关联图形恰好被直线y=-x分成面积相等的两部分，
∴关联图形的中心Q落在直线y=-x上，
∵正方形ABCD的中心为E（-3，0），
∴Q（$\frac{-3+0}{2}$，$\frac{0+n}{2}$），
∴代入得：$\frac{0+n}{2}$=-$\frac{-3+0}{2}$，
解得：n=3．

点评 此题属于新定义性题目．考查了一次函数的性质以及关于点的对称图形．注意理解关联图形的定义是关键．