Question

12．化简$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$+$\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$的结果是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先利用完全平方公式化简复合二次根式得到$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$，$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，则原式=$\frac{\sqrt{2}（2+\sqrt{3}）}{3+\sqrt{3}}$+$\frac{\sqrt{2}（2-\sqrt{3}）}{3-\sqrt{3}}$，然后分母有理化快乐．

解答 解：∵$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{\frac{（\sqrt{3}+1）^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$，$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴原式=$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}}$+$\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}$
=$\frac{\sqrt{2}（2+\sqrt{3}）}{3+\sqrt{3}}$+$\frac{\sqrt{2}（2-\sqrt{3}）}{3-\sqrt{3}}$
=$\sqrt{2}$[$\frac{（2+\sqrt{3}）（3-\sqrt{3}）}{6}$+$\frac{（2-\sqrt{3}）（3+\sqrt{3}）}{6}$]
=$\sqrt{2}$•$\frac{3+\sqrt{3}+3-\sqrt{3}}{6}$
=$\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．