Question

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O切BC于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DAC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD．先依据平行线的判定定理证明OD∥AC，然后依据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠OAD=∠DAC，于是可证明AD平分∠BAC．
（2）连接ED、OD．由题意可知AE=10．接下来，在△ADA中，依据锐角三角函数的定义可求得AD的长，然后在△ADC中，可求得DC和AC的长，由OD∥AC可证明△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的性质可列出关于BD的方程．

解答 解：（1）如图1所示：连接OD．

∵BC与圆O相切，
∴OD⊥BC．
∴∠ODB=90°．
∵∠C=90°，
∴∠C=∠ODB．
∴OD∥AC．
∴∠ODA=∠DAC．
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠OAD=∠DAC．
∴AD平分∠BAC．
（2）如图2所示：连接ED．

∵⊙O的半径为5，AE是圆O的直径，
∴AE=10，∠EDA=90°．
∵∠EAD=∠CAD，sin∠DAC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×10=4$\sqrt{5}$．
∴DC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×4$\sqrt{5}$=4，AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×4$\sqrt{5}$=8．
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC．
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{5}{8}=\frac{BD}{BD+4}$，解得：BD=$\frac{20}{3}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质，列出关于BD的方程是解题的关键．