Question

16．如图，已知△ABC中，点F在边AB上，且AF=$\frac{2}{5}$AB、过A作AG∥BC交CF的延长线于点G．
（1）设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，试用向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{AG}$；
（2）在图中求作向量$\overrightarrow{AG}$与$\overrightarrow{AB}$的和向量．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

Answer 1

分析 （1）证△AGF∽△BCF得$\frac{AG}{BC}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{2}{3}$，即AG=$\frac{2}{3}$CB，由$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$）可得答案；
（2）延长CB到E，使BE=AG，连接AE，则$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB}$．

解答 解：（1）∵AG∥BC，AF=$\frac{2}{5}$AB，
∴△AGF∽△BCF，$\frac{AF}{BF}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AG}{BC}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{2}{3}$，即AG=$\frac{2}{3}$CB，
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$；

（2）如图所示，

$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质及向量的运算、作图，熟练掌握向量的基本运算法则是解题的关键．