Question

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的圆与AB、AC分别交于点D、点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为H，若FH的长为4，求BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD，可知道△ODB是等边三角形，从而得到OD∥AC，证明OD⊥DE；
（2）求出AD=BD，AD=2AF，求出CF长，设AF=x，求出BC=4x，CF=3x，求出x即可．

解答：（1）DF与⊙O的位置关系是相切．
证明：理由如下：
连接OD，如图；
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BDO=∠A=60°，
∴OD∥AC；
又∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

（2）∵△BOD、△ABC是等边三角形，
∴∠BDO=∠A=60°，
∴OD∥AC，
∵O是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AD=BD，
又∵∠ADF=90°-60°=30°，
∵FH⊥BC，∠C=60°，FH=4，
∴CH=

1

2

CF，
∴CH=

4 3

3

，CF=

8 3

3

，
设AF=x，则AD=BD=2x，AC=AB=4x，CF=3x，
即3x=

8 3

3

，
x=

8 3

3

，
BC=4x=

32 3

3

．

点评：本题考查了等边三角形性质，切线的判定，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，有一道的难度．