Question

8．已知关于x的方程x²-8x+（b-3）|x-4|+16-3b=0有且只有两个不相等的实数根，则实数b的取值范围是（　　）

• A． b≤-3或b＞0
• B． b=-2或b＞0
• C． b=-3或b＞0
• D． b=-2

Answer 1

分析 由于方程含有绝对值，因此需要分两种情况去掉绝对值号，然后根据一元二次方程的根情况进行讨论．

解答 解：当x≥4时，
原方程化为：x²-8x+（b-3）（x-4）+16-3b=0，
化简为：x²+（b-11）x+28-7b=0，
此时，△=（b-11）²-4（28-7b）=（b+3）²≥0，
∴此时方程的解为：x₁=7，x₂=4-b，
当x＜4时，
原方程化为：x²-8x-（b-3）（x-4）+16-3b=0，
化简为：x²-（b+5）x+b+4=0，
此时，△=（b+5）²-4（b+4）=（b+3）²≥0，
∴此时方程的解为：x₃=1，x₄=b+4，
当b=-3时，
此时x₁=x₂=7，x₃=x₄=1，
此情况满足题意．
当$\left\{\begin{array}{l}{4-b＜4}\\{b+4≥4}\end{array}\right.$时，
此时：b＞0，
综上所述，b=-3且b＞0，
故选（C）

点评 本题考查根的判别式，涉及一元二次方程的解，分类讨论的思想，属于中等题型．