Question

3．如图，B、D是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上两点，过B，D作x轴的垂线，垂足分别为A，C，连接OD交AB于点E，若∠ABO=30°，OD是∠BOA的平分线，四边形ACDE的面积为2，则k=6．

Answer 1

分析 设OA=x，根据直角三角形中30°角的对边为斜边的一半结合勾股定理即可得出AB=$\sqrt{3}$x，由角的平分线的性质即可得出∠AOE=30°，同理可得出AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，根据四边形ACDE的面积为2结合三角形面积公式即可得出x²的值，再根据反比例函数系数k的几何意义，即可找出k的值．

解答 解：设OA=x，
∵∠ABO=30°，BA⊥x轴，
∴∠AOB=60°，OB=2x，AB=$\sqrt{O{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{3}$x．
∵OD是∠BOA的平分线，
∴∠AOE=30°，OE=2AE，
∵OA=$\sqrt{O{E}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$AE，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵B、D是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上两点，
∴S_△OAB=S_△OCD，
∴S_梯形ACDE=S_△OCD-S_△OAE=$\frac{1}{2}$OA•AB-$\frac{1}{2}$OA•AE=$\frac{1}{2}$x•（$\sqrt{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²=2，
∴x²=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$k=S_△OAB=$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²=3，
∴k=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、角平分线的性质以及勾股定理，根据反比例函数系数k的几何意义找出k与x²之间的关系是解题的关键．