Question

4．如图所示，∠1=∠DBF，∠3=∠4，且BD=BF
（1）求证：△ABD≌△CBF；
（2）求证：∠ABC+2∠2=180°．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠1=∠ABC，等量代换得到∠ABC=∠DBF，根据角的和差得到∠ABD=∠CBF，于是得到结论；
（2）根据∠3=∠4，推出A，D，B，C四点共圆，由圆周角定理得到∠2=∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACB，然后由三角形的内角和即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠3=∠4，∠AED=∠BEC，
∴∠1=∠ABC，
∵∠1=∠DBF，
∴∠ABC=∠DBF，
∴∠ABC-∠EBF=∠DBF-∠EBF，
即∠ABD=∠CBF，
在△ABD与△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠ABD=∠CBF}\\{BD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBF；

（2）∵∠3=∠4，
∴A，D，B，C四点共圆，
∴∠2=∠BAC，
∵△ABD≌△CBF，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠2=∠BAC=∠ACB，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+2∠2=180°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．