Question

4．解答下列问题：
（1）先化简，再求值$（\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y-x}）÷\frac{y^2}{{xy-{y^2}}}$，其中x=-2，y=1．
（2）先分解因式，再求值：已知a+b=2，ab=2，求$\frac{1}{2}{a^3}b+{a^2}{b^2}+\frac{1}{2}a{b^3}$的值．

Answer 1

分析 （1）先把括号里的式子进行通分，再把除法转化成乘法，然后约分，最后把x，y的值代入计算即可；
（2）先把$\frac{1}{2}$a³b+a²b²+$\frac{1}{2}$ab³提公因式$\frac{1}{2}$ab，再运用完全平方和公式分解因式，最后整体代入求值．

解答 解：（1）$（\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y-x}）÷\frac{y^2}{{xy-{y^2}}}$=[$\frac{x-y}{（x+y）（x-y）}$-$\frac{x+y}{（x+y）（x-y）}$]×$\frac{y（x-y）}{{y}^{2}}$=$\frac{-2y}{（x+y）（x-y）}$×$\frac{y（x-y）}{{y}^{2}}$=-$\frac{2}{x+y}$，
把x=-2，y=1代入上式得：
原式=-$\frac{2}{-2+1}$=2；

（2）求$\frac{1}{2}{a^3}b+{a^2}{b^2}+\frac{1}{2}a{b^3}$=$\frac{1}{2}$ab（a²+2ab+b²）=$\frac{1}{2}$ab（a+b）²，
当a+b=2，ab=2时，
原式=$\frac{1}{2}$×2×2²=4．

点评 此题考查了分式的化简求值，化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题材．