题目内容

15．深化理解：
如图1，已知直线l：y=$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴交于A、B两点，
（1）求AB的长；
（2）若点P的坐标是（0，4），点M是直线l上的一个动点，求PM的最短长度．
实践应用：
（1）如图2，已知直线y=$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最小值与最大值之和是16．
（2）已知一次函数y=$\frac{4}{3}$x+b与y=$\frac{4}{3}$x+1的图象之间的距离等于3，则b的值是-4或6．

分析 （1）先求出A、B两点坐标，求出OA、OB利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据垂线段最短，先求出点M坐标，利用两点间距离公式计算即可．
（3）过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，$\frac{1}{2}$×AB×CM=$\frac{1}{2}$×OA×BC，可知圆C上点到直线y=$\frac{3}{4}$x-3的最大距离是1+$\frac{16}{5}$=$\frac{21}{5}$，圆C上点到直线y=$\frac{3}{4}$x-3的最小距离是 $\frac{16}{5}$-1=$\frac{11}{5}$，由此即可解决问题．
（4）不妨设直线y=$\frac{4}{3}$x+1与坐标轴交于A（0，1），B（-$\frac{3}{4}$，0），直线y=$\frac{4}{3}$x+b与y轴交于点P，作PM⊥AB于M．由△ABO∽△APM，得$\frac{PM}{BO}$=$\frac{AP}{AB}$，因为AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，所以$\frac{3}{\frac{3}{4}}$=$\frac{PA}{\frac{5}{4}}$，推出PA=5，推出点P坐标为（0，-4），b=-4，根据对称性可知，当b=6时，也满足条件．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

（2）∵直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3，
∴过点P（0，4）垂直AB的直线的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-3}\\{y=-\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{84}{25}}\\{y=-\frac{12}{25}}\end{array}\right.$，
根据垂线段最短可知点M坐标为（$\frac{84}{25}$，-$\frac{12}{25}$）时，PM最短，此时PM=$\sqrt{（\frac{84}{25}）^{2}+（4+\frac{12}{25}）^{2}}$=$\frac{28}{5}$．

（3）过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，

则由三角形面积公式得，$\frac{1}{2}$×AB×CM=$\frac{1}{2}$×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM=$\frac{16}{5}$，
∴圆C上点到直线y=$\frac{3}{4}$x-3的最大距离是1+$\frac{16}{5}$=$\frac{21}{5}$，
∴△PAB面积的最大值是 $\frac{1}{2}$×5×$\frac{21}{5}$=$\frac{21}{2}$，
圆C上点到直线y=$\frac{3}{4}$x-3的最小距离是 $\frac{16}{5}$-1=$\frac{11}{5}$，
∴△PAB面积的最小值是 $\frac{1}{2}$×5×$\frac{11}{5}$=$\frac{11}{2}$，
∴△PAB面积的最小值与最大值之和=$\frac{21}{2}$+$\frac{11}{2}$=16．
故答案为16．

（4）如图3中，

∵不妨设直线y=$\frac{4}{3}$x+1与坐标轴交于A（0，1），B（-$\frac{3}{4}$，0），直线y=$\frac{4}{3}$x+b与y轴交于点P，作PM⊥AB于M．
∵△ABO∽△APM，
∴$\frac{PM}{BO}$=$\frac{AP}{AB}$，∵AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{3}{\frac{3}{4}}$=$\frac{PA}{\frac{5}{4}}$，
∴PA=5，
∴点P坐标为（0，-4），
∴b=-4，
根据对称性可知，当b=6时，也满足条件．
故答案为-4或6．

点评 本题考查一次函数的应用、三角形的面积，相似三角形的判定和性质、点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离以及最小结论，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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