Question

12．如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为抛物线与x轴相交，令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．
（2）根据两点式方程即可解出AC的函数表达式，根据轴对称-最短路径的确定顶点点P的位置，求出点P的坐标；
（3）存在四个这样的点．①连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；
②AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+$\sqrt{7}$，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+$\sqrt{7}$，0）；
④如图，同③可求出F的坐标为（4-$\sqrt{7}$，0）；综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．

解答 解：（1）令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0），
将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3，得y=-3，
∴C（2，-3）；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1，
由抛物线的对称性可知，点A与点B关于对称轴x=1对称，
∴连接AC与x=1交于点P，点即为所求，
当x=1时，y=-2，
则点P的坐标为（1，-2）；
（3）存在4个这样的点F，
①如图1，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；
②如图2，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③如图3，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+$\sqrt{7}$，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+$\sqrt{7}$．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+$\sqrt{7}$，0）；
④如图4，同③可求出F的坐标为（4-$\sqrt{7}$，0），
综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．

点评 本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质、轴对称-最短路径问题等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．