Question

10．如图，直线y=kx+b与抛物线y=ax²相交于点A，B，与x轴相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设点A，B，C的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，求证：$\frac{1}{{x}_{A}}$+$\frac{1}{{x}_{B}}$=$\frac{1}{{x}_{C}}$；
（3）若a=b=$\frac{1}{2}$，∠ACO=30°，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）将y=0代入y=kx+b，求出x的值，得出点C的横坐标，进而求解即可；
（2）将y=kx+b代入y=ax²，整理得ax²-kx-b=0，与根与系数的关系得出x_A+x_B=$\frac{k}{a}$，x_A•x_B=-$\frac{b}{a}$，那么$\frac{1}{{x}_{A}}$+$\frac{1}{{x}_{B}}$=$\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{{x}_{A}•{x}_{B}}$=$\frac{\frac{k}{a}}{-\frac{b}{a}}$=-$\frac{k}{b}$，又x_C=-$\frac{b}{k}$，所以$\frac{1}{{x}_{C}}$=-$\frac{k}{b}$，从而证明$\frac{1}{{x}_{A}}$+$\frac{1}{{x}_{B}}$=$\frac{1}{{x}_{C}}$；
（3）根据a=b=$\frac{1}{2}$，∠ACO=30°得出直线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{1}{2}$，抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²，再求出A、B两点的坐标，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E，根据S_△AOB=S_梯形ABED-S_△AOD-S_△BOE，计算即可求解．

解答 （1）解：∵y=kx+b与x轴相交于点C，
而当y=0时，kx+b=0，解得x=-$\frac{b}{k}$，
∴点C的坐标为（-$\frac{b}{k}$，0）；

（2）证明：将y=kx+b代入y=ax²，
整理得ax²-kx-b=0，
∵直线y=kx+b与抛物线y=ax²相交于点A，B，
∴x_A+x_B=$\frac{k}{a}$，x_A•x_B=-$\frac{b}{a}$，
∴$\frac{1}{{x}_{A}}$+$\frac{1}{{x}_{B}}$=$\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{{x}_{A}•{x}_{B}}$=$\frac{\frac{k}{a}}{-\frac{b}{a}}$=-$\frac{k}{b}$，
∵x_C=-$\frac{b}{k}$，
∴$\frac{1}{{x}_{C}}$=-$\frac{k}{b}$，
∴$\frac{1}{{x}_{A}}$+$\frac{1}{{x}_{B}}$=$\frac{1}{{x}_{C}}$；

（3）解：∵a=b=$\frac{1}{2}$，∠ACO=30°，
∴直线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{1}{2}$，抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²，
将y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{1}{2}$x²，
整理得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{1}{2}$=0，
解得x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），B（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{6}$）．
如图，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E，
则S_△AOB=S_梯形ABED-S_△AOD-S_△BOE
=$\frac{1}{2}$（AD+BE）•DE-$\frac{1}{2}$AD•OD-$\frac{1}{2}$OE•BE
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{6}$）•（$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{6}$
=$\frac{10\sqrt{3}}{9}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{36}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数与一元二次方程的关系，一次函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，直线斜率的意义，两函数交点坐标的求法，三角形的面积等知识，综合性较强，难度适中．利用根与系数的关系是解决（2）的关键；理解直线斜率的意义得出直线解析式是解决（3）的关键．