Question

6．如图．在平面直角坐标系xOy中．点A的坐标为（-1，1），点B是x轴上的一动点．以AB为斜边作等腰直角△ABC，AM⊥x轴于M．当点C（x，y）在第一象限内时，下列图象中，可以表示y与x的函数关系的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 过A作AD⊥y轴于D，过C作CF⊥y轴于F，由已知条件动点AM=OM=1，推出四边形AMOD是正方形，根据相似三角形的性质得到∠ADC=∠AOB=135°，推出△CDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过A作AD⊥y轴于D，过C作CF⊥y轴于F，
∵AM⊥x轴于M，点A的坐标为（-1，1），
∴AM=OM=1，
∴四边形AMOD是正方形，
∴OD=AD=1，∠AOD=∠OAD=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CAD=∠OAB，
∵$\frac{AD}{AO}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△ACD∽△ABO，
∴∠ADC=∠AOB=135°，
∴∠CDF=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴DF=CF=x，
∵DF=y-1，
∴y-1=x，
∴y=x+1，
故选C．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．