Question

7．如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，如果AE=1，EF=2，那么FC的长度是1，AB的长度是2．

Answer 1

分析 先证△BEA≌△DFC，根据全等三角形的性质得出AE=CF，再证△ABE∽△BCE，得出比例式，求出BE的长，最后根据勾股定理求出AB即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△BEA和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠DFC}\\{∠BAE=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△DFC（AAS），
∴AE=CF，
∵AE=1，
∴CF=1，
∵EF=2，
∴AF=CE=3，
∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，
∴∠ABC=∠BEA=∠BEC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠BCE，
∴△ABE∽△BCE，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{CE}{BE}$，
∴BE²=AE×CE=1×3=3，
∴BE=$\sqrt{3}$，在Rt△BEA中，AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{1+3}$=2，
故答案为：1，2．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△BEA≌△DFC和△ABE∽△BCE，综合性比较强，有一定的难度．