Question

15．如图，在正方形ABCD中，AB=a，M为AB的中点，ED=3AE．
（1）求ME的长；
（2）△EMC是直角三角形吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）在直角△AME中利用勾股定理即可直接求解；
（2）利用勾股定理求得CM²，CE²，证明ME²+CM²=CE²，就可证明△EMC是直角三角形．

解答 解：（1）∵M为AB的中点，ED=3AE，
∴AM=BM=$\frac{1}{2}$a，AE=$\frac{1}{4}$a，DE=$\frac{3}{4}$a．
∴在直角△AEM中，ME=$\sqrt{A{M}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}a）^{2}+（\frac{1}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$a；
（2）在直角△BCM中，CM²=BM²+BC²=（$\frac{1}{2}$a）²+a²=$\frac{5}{4}$a²，
在直角△CED中，CE²=DE²+CD²=（$\frac{3}{4}$a）²+a²=$\frac{5}{8}$a²，
又∵ME²=$\frac{5}{16}$a²，
∴ME²+CM²=CE²．
∴△EMC是直角三角形．

点评 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理表示出CM²，CE²是关键．