Question

19．如图．AB是⊙O的直径，E为弦AP上一点，过点E作EC⊥AB于点C，延长CE至点F，连接FP，使∠FPE=∠FEP，CF交⊙O于点D．
（1）证明：FP是⊙O的切线；
（2）若四边形OBPD是菱形，证明：FD=ED．

Answer 1

分析 （1）连接OP，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠APO，根据垂直的定义得到∠A+∠AEC=90°，等量代换得到∠AEC=∠FPE，于是得到OP⊥PF，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到PB=OB，推出△OPB是等边三角形，得到∠B=∠BOP=60°，于是得到△FPE是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）连接OP，
∵OP=OA，
∴∠A=∠APO，
∵EC⊥AB，
∴∠A+∠AEC=90°，
∵∠FPE=∠FEP，∠FEP=∠AEC，
∴∠AEC=∠FPE，
∴∠OPA+∠FPA=90°，
∴OP⊥PF，
∴FP是⊙O的切线；

（2）∵四边形OBPD是菱形，
∴PB=OB，
∵OB=OP，
∴OP=OB=PB，
∴△OPB是等边三角形，
∴∠B=∠BOP=60°，
∴∠A=30°，
∴∠AEC=∠FEP=60°，
∴∠FPE=∠FEP=60°，
∴△FPE是等边三角形，
∵PD∥AB，
∴PD⊥EF，
∴FD=ED．

点评 本题考查了切线的判定，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．