Question

11．对于钝角α，定义它的三角函数数值如下：
sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）．
（1）求sin135°，cos150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比为1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，且∠A≤∠B，sinA，cosB是方程4x²-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m值及∠A，∠B的大小．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函数和诱导公式求解；
（2）分两种情况进行分析：①当∠A=30°，∠B=120°时；②当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可．

解答 解：（1）由题意得，
sin135°=sin（180°-135°）=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
cos150°=-cos（180°-150°）=-cos30°=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（2）（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
∵∠A≤∠B，
①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，
将$\frac{1}{2}$代入方程得：4×（$\frac{1}{2}$）²-m×$\frac{1}{2}$-1=0，
解得：m=0，
经检验-$\frac{1}{2}$是方程4x²-1=0的根，
∴m=0符合题意；
②当∠A=30°，∠B=30°时，两根为$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
将$\frac{1}{2}$代入方程得：4×（$\frac{1}{2}$）²-m×$\frac{1}{2}$-1=0，
解得：m=0，
经检验$\frac{\sqrt{3}}{2}$不是方程4x²-1=0的根．
综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．

点评 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．