Question

7．如图①，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．（提示：如图②所示分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E、F，延长EB、FC相交于G点）
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．

Answer 1

分析 （1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x-2）²+（x-3）²=5²，求出AD=x=6．

解答 解（1）由对折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，
∴四边形AEGF为矩形，
∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF，
∴矩形AEGF是正方形；
（2）根据对称的性质可得：BE=BD=2，CF=CD=3，
设AD=x，则正方形AEGF的边长是x，
则BG=EG-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，
在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x-2）²+（x-3）²=5²，
解得：x=6或-1（舍去）．
∴AD=x=6；

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了对折的性质，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形．