Question

5．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a²+b²+c²的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S_阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解．

解答 解：（1）（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac；

（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a²+b²+c² =（a+b+c）²-2（ab+ac+bc）=121-76=45；

（3）∵a+b=10，ab=20，
∴S_阴影=a²+b²-$\frac{1}{2}$（a+b）•b-$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$b²-$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$（a+b）²-$\frac{3}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×10²-$\frac{3}{2}$×20=50-30=20．

点评 本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．