Question

19．如图，已知矩形ABCD中，OA=8，AB=1，直线y=$\frac{4}{3}$x交BC于D，动点P、Q同时从D出发，点P沿折线OA-AB-BD以每秒3个单位的速度运动到D停止，点Q沿射线OD以每秒1个单位的速度运动，当点P停止时，点Q也停止运动．△OPQ与梯形OABD重叠部分的面积为S，运动时间为t．
（1）求D的坐标；
（2）写出面积S与时间t的函数关系式；
（3）t为何值时，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）把y=1代入直线OD解析式求出x的值，确定出D坐标即可；
（2）分两种情况考虑：若Q在线段OD上时；若Q到D停止时，分别表示出S与t的函数解析式即可；
（3）当Q在D处停止，P在A处停止时，△OPQ与梯形OABD重叠部分的面积为△AOD，面积最大，求出即可．

解答 解：（1）把y=1代入y=$\frac{4}{3}$x，得：x=$\frac{3}{4}$，
则D（$\frac{3}{4}$，1）；
（2）分两种情况考虑：
若Q在线段OD上时，过Q作QM⊥OP，
在Rt△OQM中，OQ=t，OP=3t，
∵tan∠QOM=$\frac{QM}{OM}$=$\frac{4}{3}$，即QM=4a，OM=3a，
∴OQ=5a=t，即a=$\frac{t}{5}$，
∴QM=$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$OP•QM=$\frac{1}{2}$×3t×$\frac{4}{5}$t=$\frac{6}{5}$t²（0≤t＜$\frac{5}{4}$）；
若Q到D停止时，S=$\frac{1}{2}$×3t×1=$\frac{3}{2}$t（$\frac{5}{4}$≤t≤$\frac{8}{3}$）；
（3）当t=$\frac{8}{3}$时，S有最大值，最大值为$\frac{1}{2}$×1×8=4．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数、二次函数的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．