Question

11．已知关于x的二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，一位老师改动了方程的二项式系数后，得到的新方程有两个根为-1和$\frac{5}{3}$；另一位老师改动原来方程的某一个系数的符号，所得到的新方程的两个根为-2和10，那么$\frac{b+c}{a}$=28．

Answer 1

分析 首先根据一位老师改动了方程的二次项系数后，得到的新方程有两个根为-1和$\frac{5}{3}$，求作一个符合条件的一元二次方程，即x²-$\frac{2}{3}$x-$\frac{5}{3}$=0，进而表示原方程是ax²-$\frac{2}{3}$kx-$\frac{5}{3}$k=0；再根据另一位老师改动原来方程的某一个系数的符号，所得到的新方程的两个根为-2和10，求作一个符合条件的一元二次方程，即x²-8x-20=0，此方程两边同乘以$\frac{1}{12}$k，得$\frac{1}{12}$kx²-$\frac{2}{3}$kx-$\frac{5}{3}$k=0，从而得到a=$\frac{1}{12}$k，最后即可求解．

解答 解：利用新方程有两个根为-1和$\frac{5}{3}$构造1个一元二次方程为：x²-（-1+$\frac{5}{3}$）x-1×$\frac{5}{3}$=0 即x²-$\frac{2}{3}$x-$\frac{5}{3}$=0，与ax²+bx+c=0对应．于是得到：b=-$\frac{2}{3}$k，c=-$\frac{5}{3}$k．（其中k是不为0的整数．）
从而原方程为：ax²-$\frac{2}{3}$kx-$\frac{5}{3}$k=0．同样再由另一个新方程的两个根-2和10，构造一个方程：
x²-（-2+10）x+（-2）×10=0，
即x²-8x-20=0．
此方程两边同乘以$\frac{1}{12}$k，得 $\frac{1}{12}$kx²-$\frac{2}{3}$kx-$\frac{5}{3}$k=0，
它与ax²-$\frac{2}{3}$kx-$\frac{5}{3}$k=0对应，得 a=$\frac{1}{12}$k，从而原方程就是：$\frac{1}{12}$kx²-$\frac{2}{3}$kx-$\frac{5}{3}$k=0，所以$\frac{b+c}{a}$=$\frac{-\frac{2}{3}k-\frac{5}{3}k}{\frac{1}{12}k}$=28．
故答案为28．

点评 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，能够根据已知的两根求作一个一元二次方是解题的关键．