Question

6．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线长是$\frac{8π}{3}$+$\sqrt{3}$π．

Answer 1

分析 首先在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AB的长，利用三角函数求得∠ABC的度数，然后利用弧长公式即可求解．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
又∵BC=2，即$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
由分析知：点A经过的路程是由两段弧长所构成的：
①A～A′段的弧长：L₁=$\frac{120π×4}{180}$=$\frac{8π}{3}$，
②A′～A″段的弧长：L₂=$\frac{90π×2\sqrt{3}}{180}$=$\sqrt{3}$π，
∴点A所经过的路线为$\frac{8π}{3}$+$\sqrt{3}$π．
故答案是：$\frac{8π}{3}$+$\sqrt{3}$π．

点评 本题考查了弧长的计算以及勾股定理，正确理解弧长的计算公式是本题的关键．