题目内容
【题目】（1）（探究发现）
如图1，
的顶点
在正方形
两条对角线的交点处，
，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边
和
交于点
和点
（点与点
，
不重合）．则
之间满足的数量关系是 ．
（2）（类比应用）
如图2，若将（1）中的“正方形”改为“
的菱形”，其他条件不变，当
时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．
（3）（拓展延伸）
如图3，
，
，
，
平分
，
，且
，点是
上一点，
，求
的长．
【答案】（1）
（2）结论不成立．
（3）
【解析】
（1）结论：．根据正方形性质，证
，根据全等三角形性质可得结论；（2）结论不成立．．连接
，在
上截取
，连接
．根据菱形性质，证
，
四点共圆，分别证
是等边三角形，
是等边三角形，根据等边三角形性质证
，根据全等三角形性质可得结论；（3）由
可知
是钝角三角形，
，作
于
，设
．根据勾股定理，可得到
，由
，得
四点共圆，再证
是等边三角形，由（2）可知：
，故可得
．
（1）如图1中，结论：．理由如下：
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∴，
∴
，
∴
．
故答案为．
（2）如图2中，结论不成立．．
理由：连接，在上截取，连接．
∵四边形是菱形，
，
∴
，
∵，
∴四点共圆，
∴
，
∵
，
∴是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
，
∴是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴，
∴
，
∴
，
（3）如图3中，由可知是钝角三角形，，作于，设．
在
中，
，
∵
，
∴
，
解得
（舍弃）或
，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴是等边三角形，
由（2）可知：，
∴
．
【题目】某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：
4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2
5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2
4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1
4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
等级 | 视力（x） | 频数 | 频率 |
|
| 4 | 0.1 |
|
| 12 | 0.3 |
|
|
| |
|
|
| |
| 10 | 0.25 | |
合计 | 40 | 1 | |
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的
，
；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“
级”的有多少人？
（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
