Question

6．已知a²+b²-6a-8b=-25，求a、b的值．
分析：“若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零．”当一个等式里含有几个未知数时，若能将该等式化为几个非负数的和的形式，便能利用上述性质来求解．
例如，将方程a²+b²-6a-8b=-25化为（a-3）²+（b-4）²=0，从而求得a=3，b=4；
再如，将方程a+b-2$\sqrt{a}$-2$\sqrt{b-1}$+1=0化为a-2$\sqrt{a}$+1+（b-1）-2$\sqrt{b-1}$+1=0，再将方程左边配成两个完全平方式的和（$\sqrt{a}$-1）²+（$\sqrt{b-1}$-1）²=0．从而求得a=1，b=2．
试用类似的方法解决下面的问题：
（1）已知a+b=2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0），求$\frac{\sqrt{4a-b}}{\sqrt{5a+7b}}$的值．
（2）已知a+b+c=2$\sqrt{a-2}$+4$\sqrt{b-1}$+6$\sqrt{c+3}$-14，求a、b、c的值．

Answer 1

分析 （1）首先把a+b=2$\sqrt{ab}$，整理得出（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²=0，得出a=b，进一步代换求得数值即可；
（2）类比给出的方法将方程左边配成三个完全平方式的和，进一步利用非负数的性质得出a、b、c的值．

解答 解：（1）∵a+b=2$\sqrt{ab}$，
∴（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²=0，
∴a=b，
∴$\frac{\sqrt{4a-b}}{\sqrt{5a+7b}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵a+b+c=2$\sqrt{a-2}$+4$\sqrt{b-1}$+6$\sqrt{c+3}$-14，
∴a-2-2$\sqrt{a-2}$+1+b-1-4$\sqrt{b-1}$+4+c+3-6$\sqrt{c+3}$+9=0，
∴（$\sqrt{a-2}$-1）²+（$\sqrt{b-1}$-2）²+（$\sqrt{c+3}$-3）²=0，
∴$\sqrt{a-2}$-1=0，$\sqrt{b-1}$-2=0，$\sqrt{c+3}$-3=0，
∴a=3，b=5，c=6．

点评 此题考查配方法的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键．