Question

6．现有一矩形ABCD和一等腰直角三角形BEF按如图1所示的位置放置（AB和BE重合），其中AB=25，AD=48，将△BEF绕点B顺时针旋转α°（0＜α＜90），在旋转过程中，EF与AD交于点G，如图2所示．

（1）求证：AG=EG；
（2）连接CE、DE，试判断是否存在以DE为腰的等腰三角形CDE，若存在，请求出此时α的度数；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，以AB为边在矩形内部作正方形ABMN，直角边EF所在的直线交MN于点P，交BC于点Q，设AG=x，PN=y，写出y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）连接BG，证明Rt△BAG≌Rt△BEG，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）分DE=CD、DE=CE两种情况，根据三角形三边关系以及等腰三角形的性质解答即可；
（3）证明Rt△BEP≌Rt△BMP，得到EP=MP，同理得到AG=EG，用x表示出GN，根据勾股定理列出y关于x的函数关系式．

解答 解：（1）如图2，连接BG，
在Rt△BAG和Rt△BEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAG≌Rt△BEG，
∴AG=EG；
（2）存在．
当DE=CD时，可知DE=25，
连接BD，在Rt△BCD中，BD²=BC²+CD²=2929，
∴BE+DE=25+25=50＜$\sqrt{2929}$，
即不存在△BDE，
∴不可能出现DE=CD．
当DE=CE时，可知点E在CD的垂直平分线上，
过点E作EH⊥BC于点H，
∴EH=$\frac{25}{2}$．
在Rt△BEH中，BE=25，EH=$\frac{25}{2}$，
∴∠EBH=30°，
∴∠ABE=60°．
综上所述，存在以DE为腰的等腰三角形CDE，此时α的度数为60°．
（3）如图3，连接BP，
在Rt△BEP和Rt△BMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BM}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴Rt△BEP≌Rt△BMP，
∴EP=MP，
同理，AG=EG，
∵PN=y，
∴EP=MP=25-y．
∵AG=EG，
∴GP=x+25-y．
在Rt△GNP中，∵GN=25-x，NP=y，
∴y²+（25-x）²=（x+25-y）²，
化简，得y=$\frac{50x}{25+x}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及函数解析式的确定，掌握相关的性质定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键，注意勾股定理的应用．