Question

在等边△ABC中，AB=8，点D在边BC上，△ADE为等边三角形，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF∥BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．
（1）如图，求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）设BD=x，FG=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AD的长为7时，求线段FG的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,平行四边形的判定

专题：几何综合题

分析：（1）由三角形ABC与三角形ADE都为等边三角形，得到∠BAC=∠DAE=60°，利用等式的性质得到∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ABC=60°，进而确定出同旁内角互补，得到CE与FB平行，再由EF与BC平行，即可得到四边形BCEF为平行四边形；
（2）由三角形ABD与三角形ACE全等，得到BD=CE，再由四边形BCEF为平行四边形得到BF=CE，等量代换得到BF=BD=x，由FG与BC平行，由平行得比例，即可列出y关于x的函数解析式，求出x的范围得到定义域；
（3）过A作AM⊥BC交BC于M，可得M为BC的中点，即BM=CM=4，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AM的长，而MD=4-x，在直角三角形ADM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，代入（2）的解析式中求出y的值，即为FG的长．

解答：（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠ABC=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ABC+∠ACB+∠ACE=180°，即∠ABC+∠BCE=180°，
∴AB∥CE，
又∵EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：∵△BAD≌△CAE，
∴EC=BD，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴BF=EC，
∴BF=BD=x，
又∵AB=8，
∴AF=8-x，
∵FG∥BC，
∴∠AFG=∠ABC，∠AGF=∠ACB，
∴△AFG∽△ABC，
∴

AF

AB

=

FG

BC

，即

8-x

8

=

y

8

，
∴y=8-x（0＜x＜8）；
（3）解：过A作AM⊥BC交BC于M，可得M为BC的中点，即BM=CM=4，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=

AB2-BM2

=4

3

，MD=4-x，
由题意得AD²=AM²+MD²，即48+（4-x）²=49，
解得：x₁=3，x₂=5，
当x=3时，y=8-3=5；当x=5时，y=8-5=3，
则FG=3或5．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．