Question

18．若点A，B是函数y=$\frac{2}{x}$图象上的两个动点，且分别在第一、三象限，则线段AB长度的最小值是4．

Answer 1

分析 由点A，B是函数y=$\frac{2}{x}$图象上的两个动点，且分别在第一、三象限，得到点A，B关于原点对称，则有AB=2AO，设A（a，$\frac{2}{a}$），则B（-a，-$\frac{2}{a}$），根据两点间的距离公式得到AB=2$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{2}{a}）^{2}}$=2$\sqrt{（a-\frac{2}{a}）^{2}+4}$，于是得到AB长度的最小值是4，

解答 解：∵点A，B是函数y=$\frac{2}{x}$图象上的两个动点，且分别在第一、三象限，
∴点A，B关于原点对称，
∴AB=2AO，
设：A（a，$\frac{2}{a}$），则B（-a，-$\frac{2}{a}$），
∴AB=2$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{2}{a}）^{2}}$=2$\sqrt{（a-\frac{2}{a}）^{2}+4}$，
当a=$\sqrt{2}$时，AB有最小值，
∴AB长度的最小值是4，
故答案为：4．

点评 本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，两点间的距离公式，最值问题，正确掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．